Sistem Bilangan

Sistem Bilangan Real

Sistem bilangan real merupakan materi yang sangat penting dalam mempelajari kalkulus dan aplikasinya. Oleh itu, sebelum mempelajari materi-materi lain dalam kalkulus dan aplikasinya, pembaca diharapkan telah memahami dan dapat menggunakan sifat-sifat yang berlaku pada sistem bilangan real.

Diperhatikan beberapa simbol berikut:

$\mathbb{N}$ biasa digunakan untuk menyatakan himpunan semua bilangan asli $\{1,2,3,...\}$ ,
$\mathbb{Z}$ biasa digunakan untuk menyatakan himpunan semua bilangan bulat $\{...,-2,-1,0,1,2,...\}$ ,
$\mathbb{Q}$ biasa digunakan untuk menyatakan himpunan semua bilangan rasional $\left\{\frac{a}{b}:a\in\mathbb{Z}\text{ dan } b\in\mathbb{N}\right\}$ ,
$\mathbb{R}$ biasa digunakan untuk menyatakan himpunan semua bilangan real, dan

$\mathbb{C}$ biasa digunakan untuk menyatakan himpunan semua bilangan kompleks $\{a+ib:a,b\in\mathbb{R}\}$

Sifat Sistem Bilangan Real

Untuk sebarang bilangan real $a,b,c$ dan $d$ diperoleh:

sifat komutatif, $a+b=b+a$ dan $ab=ba$ ,
sifat asosiatif, $a+(b+c)=(a+b)+c=a+b+c$ dan $a(bc)=(ab)c=abc$ ,
sifat distributif, $a(b+c)=ab+ac$ ,
jika $b\neq0$ ,
$\displaystyle{\frac{a}{b}=a\frac{1}{b}},$
jika $b,d\neq0$ ,
$\displaystyle{\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}},$
jika $b,d\neq 0$ ,
$\displaystyle{\frac{a}{b}\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}},$
$a(-b)=(-a)b=-(ab)$ ,
$(-a)(-b)=ab$ ,
$-(-a)=a$ ,
jika $a\neq0$ maka
$\displaystyle{\frac{0}{a}=0},$
nilai
$\displaystyle{\frac{a}{0}}$

tidak terdefinisikan,
jika $a\neq 0$ maka
$\displaystyle{\frac{a}{a}=1},$
hukum kanselasi, jika $ac=bc$ dan $c\neq 0$ maka $a=b$ , dan jika $b,c\neq 0$ maka
$\begin{equation*} \frac{ac}{bc}=\frac{a}{b}, \end{equation*}$
sifat pembagi nol, jika $ab=0$ maka $a=0$ atau $b=0$ .

Pada sistem bilangan real berlaku relasi urutan. Didefinisikan beberapa hal berikut.

Bilangan real $a$ dikatakan positif, jika $a>0$ .
Bilangan real $a$ dikatakan negatif, jika $a<0$ .
Bilangan real $a$ dikatakan nonnegatif, jika $a\geq 0$ .

Untuk setiap bilangan real $a,b$ dan $c$ , diperoleh beberapa sifat urutan bilangan real berikut.

Jika $a\leq b$ maka $a+c\leq b+c$ , untuk setiap bilangan real $c$ .
Jika $a\leq b$ dan $b\leq c$ maka $a\leq c$ .
Jika $a\leq b$ dan $c>0$ maka $ac\leq bc$ . Dilain pihak, jika $a\leq b$ dan $c<0$ maka $ac\geq bc$ .
Jika $a>0$ maka $\frac{1}{a}>0$ . Lebih lanjut, jika $0<a\leq b$ maka $\frac{1}{b}\leq\frac{1}{a}$ .
Untuk setiap bilangan real $a$ dan $b$ berlaku tepat satu
$\begin{equation*} a<b,\text{ atau }a=b,\text{ atau }a<b. \end{equation*}$
Jika $a,b\geq 0$ maka
$\begin{equation*} a\leq b \Leftrightarrow a^{2}\leq b^{2} \Leftrightarrow \sqrt{a}\leq \sqrt{b}. \end{equation*}$