Gudang Materi Ahmad Sultoni

TRANSFORMASI LINIER Definisi : F : v ↔ w ; v dan w Ruang Vektor . F disebut Transformasi Linear jika memenuhi 2 Aksioma berikut. ∀ u,v ∈ v dan k skalar 1) F(u+v) = F(u) + F(v) 2) F(ku) = k.F(u) Contoh : 1) Diketahui F : R² ↔ R³, tentukan apakah F(x,y) = (x+y, x-y, 2xy) merupakan Transformasi Linear ? Jawab : Misal u,v ∈ R² u = (x₁,y₁) v = (x₂,y₂) k skalar 1) F(u+v) = F(u) + F(v) Ruas Kiri F(u+v) = F( (x₁,y₁) + (x₂,y₂) )            = F ( x₁+x₂ , y₁+y₂ )            = ( (x₁+x₂) + (y₁+y₂) , (x₁+x₂) - (y₁+y₂) , 2(x₁+x₂).(y₁+y₂) )            = ( (x₁+y₁) + (x₂+y₂) , (x₁-y₁) + (x₂-y₂) , 2x₁y₁ + 2x₂y₂ + 2x₁y₂ + 2x₂y₁ )            = (  x₁+y₁ , x₁-y₁ , 2x₁y₁ ) + ( x₂+y₂ , x₂-y₂ , 2x₂y₂ ) + ( 0 , 0 , 2x₁y₂ + 2x₂y₁ )            ≠ F(u) + F(v) (Tidak Memenuhi Aksioma 1) 2) F(ku) = F(k(x₁,y₁))              = F(kx₁ , ky₁)              = ( kx₁ + ky₁ , kx₁ - ky₁ , 2kx₁ky₁)              = ( kx₁ + ky₁ , kx₁ - ky₁ , 2k²x₁y₁)              = k( x₁+y₁ , x₁-y₁ , 2kx₁y₁)              ≠ k.F(x₁,y₁)           

BASIS ORTONORMAL Definisi: Sebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam dinamakan himpunan ortogonal jika semua pasangaan vektor-vektor yang berbeda dalam himpunan tersebut ortogonal. sebuah himpunan ortogonal yang setiap vektornya mempunyai norma 1 dinamakan ortonormal. v 1 = u 1 | | u 1 | | v 2 = u 2 − p r o y w u 2 1 | | u 2 − p r o y w u 2 1 | |    ; p r o y w v 2 1 = < u 2 , v 1 > v 1 v 3 = u 3 − p r o y w u 3 2 | | u 3 − p r o y w u 3 2 | |   ; p r o y w v 3 2 = < u 3 , v 1 > v 1 + < u 3 , v 2 > v 2 Soal: 1. Diketahui S = { (2,1),(1,1)} adalah sebuah basis di R , Ubahlah basis tersebut menjadi basis ortonormal dengan menggunakan langkah-langkah proses Gram-Schmidt. Untuk perhitungannya menggunakan hasil kali dalam berikut: < (x₁,y₁),(x₂,y₂) > = 2x₁x₁ + 3x₂y₂, ∀(x₁,y₁),(x₂,y₂)⋴R² Penyelesaian: S = { (2,1),(1,-1)} Misal u ₁ = (2,1)            S' = ( v ₁ ,v ₂ )             u ₂ = (1,-