BASIS ORTONORMAL

BASIS ORTONORMAL

Definisi:

Sebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam dinamakan himpunan ortogonal jika semua pasangaan vektor-vektor yang berbeda dalam himpunan tersebut ortogonal. sebuah himpunan ortogonal yang setiap vektornya mempunyai norma 1 dinamakan ortonormal.

v1=u1||u1||

v2=u2−proywu21||u2−proywu21||   ; proywv21=<u2,v1>v1
v3=u3−proywu32||u3−proywu32||  ; proywv32=<u3,v1>v1+<u3,v2>v2

Soal:

1. Diketahui S = { (2,1),(1,1)} adalah sebuah basis di R , Ubahlah basis tersebut menjadi basis ortonormal dengan menggunakan langkah-langkah proses Gram-Schmidt. Untuk perhitungannya menggunakan hasil kali dalam berikut:

< (x₁,y₁),(x₂,y₂) > = 2x₁x₁ + 3x₂y₂, ∀(x₁,y₁),(x₂,y₂)⋴R²

Penyelesaian:

S = { (2,1),(1,-1)}

Misal
u₁ = (2,1)            S' = (v₁,v₂)            
u₂ = (1,-1)          Basis Ortonormal

✔ Langkah 1

v1=u1||u1||                                  ||u1||=<u1,u1>1/2                                
     =(2,1)11√                                           =<(2,1),(2,1)>1/2
                                                           =(2.2.2+3.1.1)1/2
                                                           =11−−√
∴u1||u1||=(211√,111√)

✔ Langkah 2

v2=u2−proywu21||u2−proywu21||   : w1 ruang yg direntang oleh v1

⚫ proywu21=<u2,v1>v1
                  =<(1,−1),(211√,111√)>(211√,111√)
                   =(2.1.211√+3.(−1).111√).(211√,111√)
          =(411√−311√)(211√,111√)
                    =111√(211√,111√)
                    =(211,111)
  

⚫u2−proywu21=(1,−1)−(211,111)
=(1−211,−1−111)
=(911,−1211)

⚫ ||u2−proywu21||=<(911,−1211)(911,−1211)>1/2
=(2.911.911+3.−1211.−1211)
=(162121+432121)1/2
=594121−−−√
=9.66121−−−√
=3.66√11

Sehingga :
v2=u2−proywu21||u2−proywu21||
=(911,−12113.66√11)

=(911.11366√,−1211.11366√)

=(366√,−466√)

S′={(211,111),(366√,−466√)}

atau

S′={(211√11,11√11),(66√22,−266√33)}

Bagaimana kita bisa tahu bahwa jawaban kita benar?
1. Ortoghonal S' harus = 0
2. ||S'|| harus = 1

Pembuktian:
1. Ortoghonal S' = 0
S′={(211√11,11√11),(66√22,−266√33)}
=2.(211√11).(66√22)+3.(11√11).(−266√33)
=2.726√121−2.726√121=0 (terbukti)


2. ||S'|| = 1

< v₁,v₁ > = <(211√11,11√11),(211√11,11√11)>1/2
=2.(211√11).(211√11)+3.(11√11).(11√11)
=2.44121+33121
=2.411+311
=811+311=1111=11/2=1 (terbukti)

< v₂,v₂ > = <(66√22,−266√33),(66√22,−266√33)>1/2
=2.(66√22).(66√22)+3.(−266√33).(−266√33)
=66242+264363
=23.958+63.88887.846=8784687846=11/2=1  (terbukti)

∴ S' merupakan basis ortonorma