BASIS ORTONORMAL

BASIS ORTONORMAL

Definisi:

Sebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam dinamakan himpunan ortogonal jika semua pasangaan vektor-vektor yang berbeda dalam himpunan tersebut ortogonal. sebuah himpunan ortogonal yang setiap vektornya mempunyai norma 1 dinamakan ortonormal.
v1=u1||u1||
v2=u2−proywu21||u2−proywu21||   ; proywv21=<u2,v1>v1
v3=u3−proywu32||u3−proywu32||  ; proywv32=<u3,v1>v1+<u3,v2>v2
Soal:
1. Diketahui S = { (2,1),(1,1)} adalah sebuah basis di R , Ubahlah basis tersebut menjadi basis ortonormal dengan menggunakan langkah-langkah proses Gram-Schmidt. Untuk perhitungannya menggunakan hasil kali dalam berikut:
< (x₁,y₁),(x₂,y₂) > = 2x₁x₁ + 3x₂y₂, ∀(x₁,y₁),(x₂,y₂)⋴R²
Penyelesaian:
S = { (2,1),(1,-1)}
Misal
u₁ = (2,1)            S' = (v₁,v₂)            
u₂ = (1,-1)          Basis Ortonormal
✔ Langkah 1

v1=u1||u1||                                  ||u1||=<u1,u1>1/2                                
     =(2,1)11√                                           =<(2,1),(2,1)>1/2
                                                           =(2.2.2+3.1.1)1/2
                                                           =11−−√
∴u1||u1||=(211√,111√)

✔ Langkah 2

v2=u2−proywu21||u2−proywu21||   : w1 ruang yg direntang oleh v1

⚫ proywu21=<u2,v1>v1
                  =<(1,−1),(211√,111√)>(211√,111√)
                   =(2.1.211√+3.(−1).111√).(211√,111√)
          =(411√−311√)(211√,111√)
                    =111√(211√,111√)
                    =(211,111)
  

⚫u2−proywu21=(1,−1)−(211,111)
=(1−211,−1−111)
=(911,−1211)

⚫ ||u2−proywu21||=<(911,−1211)(911,−1211)>1/2
=(2.911.911+3.−1211.−1211)
=(162121+432121)1/2
=594121−−−√
=9.66121−−−√
=3.66√11

Sehingga :
v2=u2−proywu21||u2−proywu21||
=(911,−12113.66√11)
=(911.11366√,−1211.11366√)
=(366√,−466√)
S′={(211,111),(366√,−466√)}
atau
S′={(211√11,11√11),(66√22,−266√33)}


Bagaimana kita bisa tahu bahwa jawaban kita benar?
1. Ortoghonal S' harus = 0
2. ||S'|| harus = 1

Pembuktian:
1. Ortoghonal S' = 0
S′={(211√11,11√11),(66√22,−266√33)}
=2.(211√11).(66√22)+3.(11√11).(−266√33)
=2.726√121−2.726√121=0 (terbukti)


2. ||S'|| = 1

< v₁,v₁ > = <(211√11,11√11),(211√11,11√11)>1/2
=2.(211√11).(211√11)+3.(11√11).(11√11)
=2.44121+33121
=2.411+311
=811+311=1111=11/2=1 (terbukti)

< v₂,v₂ > = <(66√22,−266√33),(66√22,−266√33)>1/2
=2.(66√22).(66√22)+3.(−266√33).(−266√33)
=66242+264363
=23.958+63.88887.846=8784687846=11/2=1  (terbukti)

∴ S' merupakan basis ortonorma

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

GAUSS DAN GAUSS JORDAN

Gambar
                            GAUSS DAN GAUSS JORDAN GAUSS Eliminasi Gauss Eliminasi gauss ditemukan oleh  Carl Friedrich Gauss, metode ini dapat dimanfaatkan untuk memecahkan sistem persamaan linear dengan merepresentasikan (mengubah) menjadi bentuk matriks, matriks tersebut lalu diubah kebentuk Eselon Baris melalui Operasi Baris Elementer. Kemudian sistem diselesaikan dengan substitusi balik. Lalu apa itu eselon baris? dan bagaimana bentuknya? Bentuk Eselon Baris Suatu matriks memiliki bentuk eselon baris jika memenuhi 3 kriteria berikut : Jika didalam baris terdapat elemen-elemen yang tidak semuanya nol, maka bilangan tak nol pertama di dalam baris tersebut adalah 1. Contoh : (Perhatikan setiap baris pada matriks berikut) ⎡ ⎣ ⎢ 1 0 0 4 0 0 0 − 1 0 2 2 1 ⎤ ⎦ ⎥ Dari matriks diatas baris merah dan baris hijau memenuhi k...
Baca selengkapnya

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

Gambar
NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN Nilai Eigen ( λ {\displaystyle \lambda } ) adalah nilai karakteristik dari suatu matriks berukuran n x n, sementara vektor Eigen ( x {\displaystyle x} ) adalah vektor kolom bukan nol yang bila dikalikan dengan suatu matriks berukuran n x n akan menghasilkan vektor lain yang memiliki nilai kelipatan dari vektor Eigen itu sendiri. [1] [2] Definisi tersebut berlaku untuk matriks dengan elemen bilangan real dan akan mengalami pergeseran ketika elemen berupa bilangan kompleks . [1] [3] Untuk setiap nilai Eigen ada pasangan vektor Eigen yang berbeda, namun tidak semua persamaan matriks memiliki nilai Eigen dan vektor Eigen. [1] Nilai Eigen dan vektor Eigen berguna dalam proses kalkulasi matriks, di mana keduanya dapat diterapkan dalam bidang Matematika murni dan Matematika terapan seperti transformasi linear . [4] Kumpulan pasangan nilai dan vektor Eigen d...
Baca selengkapnya

BASIS DAN DIMENSI

BASIS DAN DIMENSI Basis : suatu ukuran tertentu yang menyatakan komponen dari sebuah vector. Dimensi biasanya dihubungkan dengan ruang, misalnya garis adalah ruang dengan dimensi 1, bidang adalah uang dengan dimensi 2 dan seterusnya. Definisi basis secara umum adalah sebagai berikut : Jika V adalah ruang vektor dan S = {v1, v2, v3, ….., vn} adalah kumpulan vektor di dalam V, maka S disebut sebagai basis dari ruang vektor V jika 2 syarat berikut ini dipenuhi : i. S bebas linier; ii. S serentang V. Contoh 1 Misalkan e1 = ( 1, 0, 0, … , 0 ), e2 = ( 0, 1, 0, … , 0 ), … , en = ( 0, 0, 0, … , 1 ). Dalam contoh pada pembahasan kebebasan linier, kita telah menunjukkan bahwa S = { e1, e2, … , en } adalah himpunan bebas linier dengan Rn. Karena setiap vector v = (v1, v2, … , vn) pada Rn dapat dituliskan sebagai v = v1e1 + v2e2 + … + vnen, maka S merentang Rn sehingga S adalah sebuah basis. Basis tersebut dinamakan basis baku untuk Rn. Contoh 2 Misalkan v1 = ( ...
Baca selengkapnya