INVERS MATRIKS ADJOIN DAN OBE

INVERS MARTIKS ADJOIN

Pada blog ini saya sudah menulis bagaimana mencari matriks dengan dua cara yang berbeda, yang pertama menggunakan Operasi Baris Elementer, yaitu dengan membentuk matriks augmentasinya kemudian dilakukan OBE dan cara yang kedua dengan memanfaatkan sifat $AB = BA = I$ di mana $B$ sebagai invers matriks $A$ dan $I$ matriks identitas, yang selanjutnya diselesaikan menggunakan eliminasi (baca di sini). Pada tulisan ini, saya mencoba memanfaatkan matriks adjoint. Apa itu matriks adjoint ? Matriks adjoint itu adalah transpose dari Matriks Kofaktor. Misal $latex A4 adalah suatu matriks yang memiliki invers, maka

$A^{-1} = \dfrac{1}{det(A)} Adj(A)$

Jadi, dalam menggunakan metode ini, untuk mencari invers suatu matriks, yang dibutuhkan adalah Determinan Matriks itu sendiri dan Adjoin Matriks. Perhatikan contoh berikut.

Contoh 1.

Tentukan invers matriks dari $A = \begin{bmatrix} 2&-1&3\\ 0&4&5\\ 2&1&4 \end{bmatrix}$ .

Karena $A$ matriks $3 \times 3$ , maka untuk mudahnya dalam menentukan determinan, digunakan Metode Sarrus.

$det(A) = 2(4)(4) + (-1)(5)(2) + 3(0)(1)-2(4)(3)-1(5)(2)-4(0)(-1)$

$= 32 -10 + 0-24-10-0$

$= -12$

Selanjutnya akan ditentukan $Adj(A)$ , tapi sebelumnya akan ditentukan Kofaktor matriks $A$ .

Kofaktor dari $a_{11}$ adalah

$C_{11} = (-1)^{1+1} M_{11}$

$= \begin{vmatrix} 4& 5\\ 1& 4 \end{vmatrix} = 4(4)-1(5) = 11$

Kofaktor dari $a_{12}$ adalah

$C_{12} = (-1)^{1+2} M_{12}$

$= -1\begin{vmatrix} 0& 5\\ 2& 4 \end{vmatrix} = -1(0(4)-2(5)) = 10$

Kofaktor dari $a_{13}$ adalah

$C_{13} = (-1)^{1+3} M_{13}$

$= \begin{vmatrix} 0& 4\\ 2& 1 \end{vmatrix} = 0(1)-2(4) = -8$

Kofaktor dari $a_{21}$ adalah

$C_{21} = (-1)^{2+1} M_{21}$

$= -1\begin{vmatrix} -1&3\\ 1&4 \end{vmatrix} = -1(-1(4)-1(3)) = 7$

Kofaktor dari $a_{22}$ adalah

$C_{22} = (-1)^{2+2} M_{22}$

$= \begin{vmatrix} 2&3\\ 2&4 \end{vmatrix} = 2(4)-2(3)) = 2$

Kofaktor dari $a_{23}$ adalah

$C_{23} = (-1)^{2+3} M_{23}$

$= -1\begin{vmatrix} 2&-1\\ 2&1 \end{vmatrix} = -1(2(1)-2(-1)) = -4$

Kofaktor dari $a_{31}$ adalah

$C_{31} = (-1)^{3+1} M_{31}$

$= \begin{vmatrix} -1&3\\ 4&5 \end{vmatrix} = -1(5)-4(3) = -17$

Kofaktor dari $a_{32}$ adalah

$C_{32} = (-1)^{3+2} M_{32}$

$= -1\begin{vmatrix} 2&3\\ 0&5 \end{vmatrix} = -1(2(5)-0(3)) = -10$

Kofaktor dari $a_{33}$ adalah

$C_{33} = (-1)^{3+3} M_{33}$

$= \begin{vmatrix} 2&-1\\ 0&4 \end{vmatrix} = 2(5)-0(3) = 10$

Oleh karena itu, matriks kofaktor dari $A$ adalah $\begin{bmatrix} 11&10&-8\\ 7&2&0\\ -17&-10&10 \end{bmatrix}$ . Karena $Adj(A)$ adalah transpose dari matriks kofaktor, berakibat $Adj(A) = \begin{bmatrix} 11&7&-17\\ 10&2&-10\\ -8&-4&10 \end{bmatrix}$ . Sehingga diperoleh invers matriks $A$ adalah $A^{-1} = -\dfrac{1}{12} \begin{bmatrix} 11&7&-17\\ 10&2&-10\\ -8&-4&10 \end{bmatrix}$ .

Contoh 2.

Tentukan invers matriks dari $B = \begin{bmatrix} 8&-3&-5\\ 0&1&2\\ 4&-7&6 \end{bmatrix}$ .

Pada contoh ini, kita akan Menghitung Determinan Matriks Menggunakan Kofaktor. Tapi sebelumnya akan ditentukan Kofaktor matriks $B$ .

Kofaktor dari $a_{11}$ adalah

$C_{11} = (-1)^{1+1} M_{11}$

$= \begin{vmatrix} 1&2\\ -7&6 \end{vmatrix} = 1(6)-2(-7) = 20$

Kofaktor dari $a_{12}$ adalah

$C_{12} = (-1)^{1+2} M_{12}$

$= -1\begin{vmatrix} 0&2\\ 4&6 \end{vmatrix} = -1(0(6)-2(4)) = 8$

Kofaktor dari $a_{13}$ adalah

$C_{13} = (-1)^{1+3} M_{13}$

$= \begin{vmatrix} 0&1\\ 4&-7 \end{vmatrix} = 0(-7)-1(4) = -4$

Kofaktor dari $a_{21}$ adalah

$C_{21} = (-1)^{2+1} M_{21}$

$= -1\begin{vmatrix} -3&-5\\ -7&6 \end{vmatrix} = -1(-3(6)-(-7)(-5)) = -17$

Kofaktor dari $a_{22}$ adalah

$C_{22} = (-1)^{2+2} M_{22}$

$= \begin{vmatrix} 8&-5\\ 4&6 \end{vmatrix} = 8(6)-4(-5) = 68$

Kofaktor dari $a_{23}$ adalah

$C_{23} = (-1)^{2+3} M_{23}$

$= -1\begin{vmatrix} 8&-3\\ 4&-7 \end{vmatrix} = -1(8(-7)-4(-3)) = 44$

Kofaktor dari $a_{31}$ adalah

$C_{31} = (-1)^{3+1} M_{31}$

$= \begin{vmatrix} -3&-5\\ 1&2 \end{vmatrix} = -3(2)-1(-5) = -1$

Kofaktor dari $a_{32}$ adalah

$C_{32} = (-1)^{3+2} M_{32}$

$= -1\begin{vmatrix} 8&-5\\ 0&2 \end{vmatrix} = -1(8(2)-0(-5)) = -16$

Kofaktor dari $a_{33}$ adalah

$C_{33} = (-1)^{3+3} M_{33}$

$= \begin{vmatrix} 8&-3\\ 0&1 \end{vmatrix} = 8(1)-0(-3)) = 8$

Oleh karena itu, diperoleh

$det(B) = a_{21}C_{21} + a_{22}C_{22} + a_{23}C_{23}$

$= 0(-17) + 1(68) + 2(44)$

$= 68+88$

$= 156$

Selanjutnya diperoleh matriks kofaktor dari $B$ adalah $\begin{bmatrix} 20&8&-4\\ -17&68&44\\ -1&-16&8 \end{bmatrix}$ . Karena $Adj(A)$ adalah transpose dari matriks kofaktor, berakibat $Adj(B) = \begin{bmatrix} 20&-17&-1\\ 8&68&-16\\ -4&-16&8 \end{bmatrix}$ . Sehingga diperoleh invers matriks $B$ adalah $B^{-1} = \dfrac{1}{156} \begin{bmatrix} 20&-17&-1\\ 8&68&-16\\ -4&-16&8 \end{bmatrix}$ .

Contoh 3.

Tentukan invers matriks dari $C = \begin{bmatrix} 1&-1&1\\ 2&3&0\\ 0&2&-1 \end{bmatrix}$ .

Pada contoh ini, kita akan Menghitung Determinan Matriks dengan Eselon Baris. Perhatikan,

1. Baris Kedua : $B_2-2B_1$

$\begin{bmatrix} 1&-1&1\\ 0&5&-2\\ 0&2&-1 \end{bmatrix}$

2. Baris Ketiga : $B_3-\dfrac{2}{5}B_2$

$\begin{bmatrix} 1&-1&1\\ 0&5&-2\\ 0&0&-\dfrac{1}{5} \end{bmatrix}$

Jadi, $set(B) = 1 \cdot 5 \cdot -\dfrac{1}{5} = -1$

Selanjutnya akan ditentukan Kofaktor matriks $B$ .

Kofaktor dari $a_{11}$ adalah

$C_{11} = (-1)^{1+1} M_{11}$

$= \begin{vmatrix} 3&0\\ 2&-1 \end{vmatrix} = 3(-1)-0(2) = -3$

Kofaktor dari $a_{12}$ adalah

$C_{12} = (-1)^{1+2} M_{12}$

$= -1\begin{vmatrix} 2&0\\ 0&-1 \end{vmatrix} = -1(2(-1)-0(0)) = 2$

Kofaktor dari $a_{13}$ adalah

$C_{13} = (-1)^{1+3} M_{13}$

$= \begin{vmatrix} 2&3\\ 0&2 \end{vmatrix} = 2(2)-3(0) = 4$

Kofaktor dari $a_{21}$ adalah

$C_{21} = (-1)^{2+1} M_{21}$

$= -1\begin{vmatrix} -1&1\\ 2&-1 \end{vmatrix} = -1(-1(-1)-1(2)) = 1$

Kofaktor dari $a_{22}$ adalah

$C_{22} = (-1)^{2+2} M_{22}$

$= \begin{vmatrix} 1&1\\ 0&-1 \end{vmatrix} = 1(-1)-1(0) = -1$

Kofaktor dari $a_{23}$ adalah

$C_{23} = (-1)^{2+3} M_{23}$

$= -1\begin{vmatrix} 1&-1\\ 0&2 \end{vmatrix} = -1(1(2)-0(-1)) = -2$

Kofaktor dari $a_{31}$ adalah

$C_{31} = (-1)^{3+1} M_{31}$

$= \begin{vmatrix} -1&1\\ 3&0 \end{vmatrix} = -1(0)-1(3) = -3$

Kofaktor dari $a_{32}$ adalah

$C_{32} = (-1)^{3+2} M_{32}$

$= -1\begin{vmatrix} 1&1\\ 2&0 \end{vmatrix} = -1(1(0)-1(2)) = 2$

Kofaktor dari $a_{33}$ adalah

$C_{33} = (-1)^{3+3} M_{33}$

$= \begin{vmatrix} 1&-1\\ 2&3 \end{vmatrix} = 1(3)-2(-1) = 5$

Oleh karena itu, diperoleh matriks kofaktor dari $C$ adalah $\begin{bmatrix} -3&2&4\\ 1&-1&-2\\ -3&2&5 \end{bmatrix}$ . Karena $Adj(A)$ adalah transpose dari matriks kofaktor, berakibat $Adj(C) = \begin{bmatrix} -3&1&-3\\ 2&-1&2\\ 4&-2&5 \end{bmatrix}$ . Sehingga diperoleh invers matriks $B$ adalah $B^{-1} = \dfrac{1}{-1} \begin{bmatrix} -3&1&-3\\ 2&-1&2\\ 4&-2&5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3&-1&3\\ -2&1&-2\\ -4&2&-5 \end{bmatrix}$ .

INVERS MATRIKS OBE

Metode invers kali ini menggunakan Eliminasi Gauss Jordan dan operasi baris elementer (OBE). Tentunya kita akan berkenalan dengan matriks augmentasi, diagonal utama, dan terutama Gancu dan Kunci versi Pdf.

Apa maksudnya Gancu dan Kunci? bagaimana cara kerja dan fungsinya? Simak penjelasan selengkapnya berikut ini.

Matriks 3×3

Bentuk umum:

$\Large A = \begin{bmatrix} a\sb{11} &a\sb{12} &a\sb{13} \\ a\sb{21} &a\sb{22} &a\sb{23} \\ a\sb{31} &a\sb{32} &a\sb{33} \end{bmatrix}$

Ganti setiap elemen matriks A dengan huruf a-i, maka

$\Large A = \begin{bmatrix} a &b &c \\ d&e &f \\ g&h &i \end{bmatrix}$

Invers Matriks 3×3

Cara mencari invers metode OBE yaitu membuat matriks augmentasi dengan cara menambahkan matriks identitas di sebelah kanan.

$\Large \left [\left.\begin{matrix} a &b &c \\ d &e &f \\ g &h &i \end{matrix}\right|\begin{matrix} 1 &0 &0 \\ 0 &1 &0 \\ 0 &0 &1 \end{matrix}\right]$

Eliminasi baris sampai terbentuk matriks eselon baris tereduksi dan invers matriks diperolah yaitu matriks sebelah kanan.

$\Large \left [\left.\begin{matrix} 1 &0 &0 \\ 0 &1 &0 \\ 0 &0 &1 \end{matrix}\right|\begin{matrix} a &b &c \\ d &e &f \\ g &h &i \end{matrix}\right]$

Namun, jangankan matriks identitas, untuk menjadikan matriks sebelah kiri menjadi matriks segitiga atas saja kita kesulitan.

Oleh karenanya, saya perkenalkan dua hal sederhana yaitu “Gancu” sebagai urutan langkah OBE dan “Kunci” sebagai patokan rumus OBE.

Gancu

Gancu berperan sebagai penunjuk jalan agar langkah eliminasi Gauss Jordan lebih efisien, yaitu g – d – h – i – c – f – e – b – a.

Gancu juga mempunyai peran yang sama dalam menyelesaikan SPL 3 variabel metode eliminasi Gauss Jordan.

Kunci

Kunci OBE adalah diagonal utama matriks yaitu:

Elemen a adalah kunci kolom pertama
Elemen e adalah kunci kolom kedua
Elemen i adalah kunci kolom ketiga

Fungsinya sebagai patokan atau acuan rumus OBE tiap kolom.

Contohnya mengubah elemen g menjadi nol menggunakan kunci a.

Contoh SoalContoh soal: Tentukan invers matriks berikut ini!Penyelesaian:

Tambahkan matriks identitas.
Khusus untuk mengubah elemen g menjadi nol, kita bisa menggunakan kunci elemen a atau elemen d. Pilihlah elemen yang lebih mudah dihitung.
Ubah elemen d menjadi nol menggunakan kunci elemen a.
Ubah elemen h menjadi nol menggunakan kunci elemen e.
Ubah elemen i menjadi angka satu dengan cara: $\large \frac{Elemen (i)}{Elemen (i)} = 1$
Ubah elemen c menjadi nol menggunakan kunci elemen i.
Ubah elemen f menjadi nol menggunakan kunci elemen i.
Ubah elemen e menjadi angka satu dengan cara: $\large \frac{Elemen (e)}{Elemen (e)} = 1$
Ubah elemen b menjadi nol menggunakan kunci elemen e.
Ubah elemen a menjadi angka satu dengan cara: $\large \frac{Elemen (a)}{Elemen (a)} = 1$

Sehingga invers matriks C dan D yaitu:Cara 10 langkah yang saya jelaskan diatas bagi sebagian orang terasa lama dan melelahkan.Oleh karena itu, saya sudah membuat cara cepatnya dalam artikel OBE Ganjil.

$\Large A = \begin{bmatrix} 4 &2 &3 \\5&9 &6 \\-1 &7 &-3 \end{bmatrix}$	4R3 + R1 $\huge \Rightarrow$	$\Large A = \begin{bmatrix} 4 &2 &3 \\5&9 &6 \\0 &30 &-9 \end{bmatrix}$
$\large C = \begin{bmatrix} 3 &2 &4 \\ 0&1 &2 \\1 &2 &2 \end{bmatrix}$	$\large D = \begin{bmatrix} 2 &-1 &3 \\2&3 &1 \\1 &-3 &5 \end{bmatrix}$
$\Large C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{3} &-\frac{2}{3} &\frac{2}{3} \\ -\frac{1}{3}&-\frac{1}{3} &\frac{4}{3} \\ \frac{1}{6} &\frac{2}{3} &-\frac{7}{6} \end{bmatrix}$	$\Large D^{-1} = \begin{bmatrix} 1 &-\frac{2}{9} &-\frac{5}{9} \\ -\frac{1}{2}&\frac{7}{18} &\frac{2}{9} \\ -\frac{1}{2} &\frac{5}{18} &\frac{4}{9} \end{bmatrix}$