ELEMENTER DAN PARTISI MATRIKS

ELEMENTER MATRIKS

Pada pembahasan sebelumnya, kita sudah mengenal tentang Definisi Matriks Elementer dan Sifatnya. Nah sekarang ini kita akan membahas lebih lanjut mengenai kegunaan dari matriks elementer.

Dalam mencari invers suatu matriks selain menggunakan adjoint, kita juga bisa menggunakan konsep gabungan antara matriks elementer dan metode eliminasi gauss-jordan.

Teorema 1

Misalkan $E$

adalah matriks elementer yang dibentuk dengan melakukan sebuah operasi baris elementer tertentu pada

I_{n \times n}

(matriks satuan). Jika operasi baris elementer yang sama dikenakan pada sebarang matriks

A_{n \times m}

maka hasilnya sama dengan hasil kali

E A

.

Contoh penerapan dari teorema 1 :

Misalkan didefinisikan matriks

A

dan

E

sebagai berikut :

A = ⎡ ⎣ ⎢ 23 - 3 - 4 - 1 2 705110 ⎤ ⎦ ⎥

I 3 \times 3 - \to - - - - - - 3 R 3 + R 1 \to R 1 E = ⎡ ⎣ ⎢ 100010001 ⎤ ⎦ ⎥ \to ⎡ ⎣ ⎢ 100010301 ⎤ ⎦ ⎥

Kita akan mengecek kebenaran teorema 1 dari contoh ini. Apakah benar :

A - \to - - - - - - 3 R 3 + R 1 \to R 1 E A

Untuk pernyataan di atas, dengan operasi perkalian antar matriks kita dapatkan :

E A = ⎡ ⎣ ⎢ 100010301 ⎤ ⎦ ⎥ ⎡ ⎣ ⎢ 23 - 3 - 4 - 1 2 705110 ⎤ ⎦ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ - 7 3 - 3 2 - 1 2 2205110 ⎤ ⎦ ⎥ \dots (i)

Kemudian kita kenakan matriks

A

dengan OBE yang sama

3 R_{3} + R_{1} \to R_{1}

sehingga kita peroleh :

⎡ ⎣ ⎢ 23 - 3 - 4 - 1 2 705110 ⎤ ⎦ ⎥ \to ⎡ ⎣ ⎢ - 7 3 - 3 2 - 1 2 2205110 ⎤ ⎦ ⎥ \dots (i i)

Dari persamaan

(i)

dan

(i i)

, ditarik kesimpulan bila kita mengenakan OBE

3 R_{3} + R_{1} \to R_{1}

pada matriks A maka hasilnya akan sama dengan hasil kali

E A

. Jadi pernyataan

A \to_{}^{3 R_{3} + R_{1} \to R_{1}} E A

bernilai benar.

Tambahan

Mari kita berpikir bersama, sebuah OBE yang dikenakan pada matriks satuan

I

dapat menghasilkan matriks elementer

E

Lalu apakah ada OBE yang jika dikenakan pada matriks

E

akan menghasilkan matriks satuan

I

Jawabannya adalah ada!

Misalkan jika

E

kita peroleh dengan menukarkan baris ke-

i

dengan baris ke-

j

pada

I

, maka kita dapat mencari matriks

I

jika kita menukarkan baris ke-

j

dengan baris ke-

i

pada

E

Untuk operasi lainnya simak tabel berikut :

OBE pada $I$

yang menghasilkan $E$

	OBE pada $E$

yang menghasilkan $I$


Mempertukarkan baris ke- $i$

dengan baris ke-

j

, dinotasikan :

R_{i} \leftrightarrow R_{j}

Mempertukarkan baris ke-

j

dengan baris ke-

i

, dinotasikan :

R_{j} \leftrightarrow R_{i}

Mengalikan baris ke-

i

dengan skalar

k

k \neq 0

dan dinotasikan :

k R_{i} \to R_{i}

Mengalikan baris ke-

i

dengan skalar

\frac{1}{k}

, dinotasikan :

\frac{1}{k} R_{i} \to R_{i}

Menambahkan hasil kali baris ke-

i

dengan skalar

k

ke baris ke-

j

, dinotasikan :

k R_{i} + R_{j} \to R_{j}

Menambahkan hasil kali baris ke-

j

dengan skalar

- k

ke baris ke-

i

, dinotasikan :

- k R_{j} + R_{i} \to R_{i}

Operasi-operasi pada ruas kanan tabel di atas dinamakan operasi invers. Lalu apa kegunaan dari operasi tersebut?

Operasi tersebut berguna untuk mencari invers dari suatu matriks dengan menggunakan matriks elementer. Namun kita tidak akan membahasnya di postingan ini. Untuk teorema selanjutnya juga tidak kalah penting dari teorema matriks elementer yang pertama.

Teorema 2

Setiap matriks elementer adalah invertible (dapat dibalik / mempunyai invers) dan inversnya adalah juga matriks elementer.

Maksud dari teorema 2 adalah ketika ada matriks elementer

E_{1}

yang dihasilkan dengan memperagakan sebuah OBE (kita namakan operasi *) pada

I

. Kemudian kita gunakan operasi invers–nya (kita namakan operasi **) pada matriks satuan

I

maka akan menghasilkan matriks elementer

E_{2}

mengingat operasi invers pada pembahasan saat ini juga merupakan operasi baris elementer.

Sehingga berdasarkan teorema 1 maka jika matriks

E_{1}

dikalikan dengan

E_{2}

maka diperoleh :

E 1 E 2 = 1 \dots (i)

Gambaran secara kasarnya yaitu efek operasi (*) akan dikenakan pada matriks

E_{2}

sehingga operasi (*) dan operasi (**) akan bertemu dan saling “meniadakan” dan menyisakan matriks satuan

I

Kemudian dengan cara yang sama jika kita mengalikan matriks

E_{2}

dengan

E_{1}

maka juga diperoleh :

E 1 E 2 = 1 \dots (i i)

Berdasarkan sifat invers pada matriks yaitu jika

A B = B A = I

maka matriks

B = A^{- 1}

atau

A = B^{- 1}

Sehingga berdasarkan persamaan

(i)

dan

(i i)

maka didapat

E_{1} E_{2} = E_{2} E_{1} = I

dan

E_{1} = E_{2}^{- 1}

atau

E_{2} = E_{1}^{- 1}

. Jadi benar bahwa matriks elementer dapat dibalik dan inversnya juga merupakan matriks elementer.

Contoh :

Misalkan didefinisikan matriks elementer

E_{1}

dan

E_{2}

sebagai berikut.

I 3 \times 3 - \to - - - - 2 R 2 \to R 2 E 1 = ⎡ ⎣ ⎢ 100010001 ⎤ ⎦ ⎥ \to ⎡ ⎣ ⎢ 100020001 ⎤ ⎦ ⎥

I 3 \times 3 - \to - - - - 1 2 R 2 \to R 2 E 2 = ⎡ ⎣ ⎢ 100010001 ⎤ ⎦ ⎥ \to ⎡ ⎣ ⎢ 100 0 1 2 0 001 ⎤ ⎦ ⎥

Kemudian kita kalikan keduanya sehingga didapat :

E 1 E 2 = ⎡ ⎣ ⎢ 100020001 ⎤ ⎦ ⎥ ⎡ ⎣ ⎢ 100 0 1 2 0 001 ⎤ ⎦ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ 100010001 ⎤ ⎦ ⎥

dan dengan cara yang sama juga diperoleh :

E 2 E 1 = ⎡ ⎣ ⎢ 100 0 1 2 0 001 ⎤ ⎦ ⎥ ⎡ ⎣ ⎢ 100020001 ⎤ ⎦ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ 100010001 ⎤ ⎦ ⎥

Jadi didapat

E_{1} E_{2} = E_{2} E_{1} = I

dan berdasarkan sifat invers pada matriks maka

E_{1} = E_{2}^{- 1}

atau

E_{2} = E_{1}^{- 1}

Karena jika biasanya dalam mencari invers suatu matriks perlu mencari determinan lalu mencari transpose matriks adjoint dan seterusnya. Apalagi jika invers yang dicari dari matriks yang mempunyai jumlah baris dan kolom yang banyak pasti akan repot.

PARTISI MATRIKS

Matriks partisi adalah membagi matriks menjadi beberapa matriks yang ukurannya lebih kecil dengan memasukan garis horizontal dan vertikal antara baris dan kolom matriks.

Matriks-matriks yang ukurannya kecil hasil partisi matriks disebut sub matriks.

Partisi matriks digunakan untuk menyederhanakan matriks yang ukurannya besar menjadi matriks kecil sehingga lebih mudah dioperasikan untuk tujuan tertentu.

Setiap sub matriks hasil partisi selalu dapat dikembalikan ke dalam matriks asalnya (Ruminata, 2014)